Question

某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的4个结论，其中正确的结论是（　　）

• A．函数f（x）在[-π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减
• B．点（

  π

  2

  ，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心
• C．函数y=f（x）图象关于直线x=π对称
• D．存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立

Answer 1

分析：由函数是奇函数判断A的正误；通过给变量取特殊值，举反例可得BC不正确；令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以D对．

解答：解：对于，f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以A错．
对于B，由于f（0）=0，f（π）=-2π，所以B错．
对于C，由 f（0）=0，f（2π）=4π，所以C错．
对于D，|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以D对．
故选D．

点评：本题主要考查三角函数的对称性、单调性、以及函数的最值，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．