Question

在单位正方形ABCD（边长为1个单位长度的正方形，如图所示）所在的平面上有点P满足条件|PA|²+|PB|²=|PC|²，试求点P到点D的距离的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，找出A，B，C及D的坐标，设出P的坐标，利用两点间的距离公式分别表示出|PA|，|PB|及|PC|，根据|PA|²+|PB|²=|PC|²，列出关系式，化简后可得到动点P的轨迹方程，其轨迹方程为一个圆，找出圆心坐标和半径，根据平面几何知识即可得到|PD|的最大值及最小值．
解答：解：以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，
则有：A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），…（3分）
设P（x，y），由条件可得：x²+y²+（x-1）²+y²=（x-1）²+（y-1）²，
∴x²+（y+1）²=2，…（7分）
这是一个以（0，-1）为圆心，以为半径的圆．…（8分）
由平面几何知识可知|PD|_max=2+，|PD|_min=2-．…（12分）
点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：两点间的距离公式，以及平面直角坐标系与点的坐标，其中根据题意建立合适的平面直角坐标系，找出动点P的轨迹方程是解本题的关键．