Question

设点P是三角形ABC内一点（不包括边界），且

AP

=m

AB

+

nAC

，m，n∈R，则m²+（n-2）²的取值范围为（　　）

• A、(1，

  5

  )
• B、（1，5）
• C、(

  1

  2

  ，5)
• D、(

  2

  2

  ，

  5

  )

Answer 1

分析：根据点P是△ABC内一点（不包括边界），向量加法的平行四边形法则得m，n的范围，据两点距离公式赋予

m2+(n-2)2

几何意义，用线性规划求出最值．

解答：解：∵点P在△ABC内部，

AP

=m

AB

+n

AC

，
∴

m＞0 n＞0 m+n＜1

，
∵在直角坐标系mon内，

m2+(n-2)2

表示平面区域

m＞0 n＞0 m+n＜1

内的点（m，n）到点（0，2）的距离．
∴数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离最大
∴最小距离为1，最大距离为

(0-1)2+(2-0)2

=

5

m²+（n-2）²的取值范围是 （1，5）；
故选B．

点评：本题考查平面向量的基本定理及其意义、两点间距离公式的应用、线性规划即数性结合求最值．