Question

(本小题满分12分)

已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．

（I）求椭圆的方程；

（II）直线与椭圆相交于、两点， 为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）。

【解析】

试题分析：（I）依题意，可设椭圆的方程为．

由 

∵ 椭圆经过点，则，解得

∴ 椭圆的方程为…………………

（II）联立方程组，消去整理得………………

∵ 直线与椭圆有两个交点，

∴ ，解得  ①…………………

∵ 原点在以为直径的圆外，

∴为锐角，即．

而、分别在、上且异于点，即………………

设两点坐标分别为，

则

解得  ，                  ②…………………

综合①②可知：…………………

考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。

点评：（1）有关直线与椭圆的综合应用，经常用到的步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。（2）在第二问中，合理转化是解题的关键，即把“O在以MN为直径的圆外”这个条件转化为“”。