题目内容
【题目】已知函数,设
为曲线
在点
处的切线,其中
.
(Ⅰ)求直线的方程(用
表示);
(Ⅱ)求直线在
轴上的截距的取值范围;
(Ⅲ)设直线分别与曲线
和射线
(
)交于
,
两点,求
的最小值及此时
的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
;(Ⅲ)
,
.
【解析】试题分析:(Ⅰ) 对求导数
,由此得切线
的方程为:
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,直线在
轴上的截距为
.设新的函数
,
求导,求最值即可.
(Ⅲ)过作
轴的垂线,与射线
交于点
,得到△
是等腰直角三角形,
.设
,
求最值即可.
试题解析:
(Ⅰ) 对求导数,得
, 所以切线
的斜率为
,由此得切线
的方程为:
, 即
.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得,直线在
轴上的截距为
.
设 ,
.所以
,令
,得
.
,
的变化情况如下表:
↘ | ↘ |
所以函数在
上单调递减,所以
,
,
所以直线在
轴上的截距的取值范围是
.
(Ⅲ)过作
轴的垂线,与射线
交于点
,
所以△是等腰直角三角形.所以
.
设 ,
,
所以 .
令 ,则
,
所以 在
上单调递增,
所以 ,
从而 在
上单调递增,所以
,此时
,
.
所以 的最小值为
,此时
.
点晴:本题主要考查导数与切线,导数与最值问题. 解答此类问题,应该首先确定函数的定义域,第二问中利用导数把直线在
轴上的截距为
.设新的函数
,
求导,求最值即可;第三问中借助几何关系
.得到
,
求最值即可.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知点为椭圆
的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线
与椭圆
有且仅有一个交点
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与
轴交于
,过点
的直线与椭圆
交于两不同点
,
,若
,求实数
的取值范围.
【题目】在测试中,客观题难度的计算公式为,其中
为第
题的难度,
为答对该题的人数,
为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
(Ⅱ)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(Ⅲ)定义统计量,其中
为第
题的实测难度,
为第
题的预估难度
.规定:若
,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
【题目】在测试中,客观题难度的计算公式为,其中
为第
题的难度,
为答对该题的人数,
为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试,共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如下表所示:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
测试后,从中随机抽取了10名学生,将他们编号后统计各题的作答情况,如下表所示(“√”表示答对,“×”表示答错):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根据题中数据,将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表,并估计这120名学生中第5题的实测答对人数;
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测答对人数 | |||||
实测难度 |
(Ⅱ)从编号为1到5的5人中随机抽取2人,求恰好有1人答对第5题的概率;
(Ⅲ)定义统计量,其中
为第
题的实测难度,
为第
题的预估难度
.规定:若
,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.
【题目】电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了名观众进行调查,其中女性有
名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于分钟的观众称“体育述”,已知“体育迷”中
名女性.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性別有关?
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(2)将日均收看该体育项目不低于分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育述”中有
名女性,若从“超级体育述”中任意选取
人,求至少有
名女性观众的概率.
附: ,