Question

18．设{a_n}是公比q大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=lna_2n+1，n=1，2，3，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式及其对数运算性质即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由题意，a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．∴6a₂=a₁+3+a₃+4．
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q=7}\\{6{a}_{2}=\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}q+7}\end{array}\right.$，解得a₂=2．
代入$\frac{{a}_{2}}{q}$+a₂+a₂q=7，化简得2q²-5q+2=0，解得q₁=2，q₂=$\frac{1}{2}$．
又公比q大于1，∴q=2，a₁=1，
∴数列{a_n}的通项公式是a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_2n+1=ln2²ⁿ=2nln2，
又b_n-b_n-1=2ln2（n≥2），
∴数列{b_n}是等差数列，
∴T_n=$\frac{（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$=（n+1）nln2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．