题目内容
对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f[f(x)]=x,则称x为f(x)的“周期点”,函数f(x)的“不动点”和“周期点”的集合分别记为A和B即A={x|f(x)=x},B={x|f[f(x)=x]}.(1)求证:A⊆B
(2)若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),且A=B≠∅,求实数a的取值范围.
分析:(I)分A=∅和A≠∅的情况,然后根据所给“不动点”和“稳定点”的定义来证明.
(II)理解A=B时,它表示方程ax2-1=x与方程a(ax2-1)2-1=x有相同的实根,根据这个分析得出求出a的值.
(II)理解A=B时,它表示方程ax2-1=x与方程a(ax2-1)2-1=x有相同的实根,根据这个分析得出求出a的值.
解答:证明:(1)?x∈A,即f(x)=x.
则有f[f(x)]=f(x)=x,x∈B
∴A⊆B
(2)∵f(x)=ax2-1
∴f[f(x)]=a(ax2-1)2-1
若f[f(x)]=x,则a(ax2-1)2-1-x=0a(ax2-1)2-1-x=a(ax2-1)2-ax2+ax2-x-1=a[(ax2-1)2-x2]+ax2-x-1=a(ax2-x-1)(ax2+x-1)+ax2-x-1=(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)
∴B={x|(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0}A={x|ax2-x-1=0}
当a=0时,A={-1},B={-1},A=B≠∅
∴a=0符合题意
当a≠0时,当A=B≠∅时,方程ax2-x-1=0有实根;对方程a2x2+ax-a+1=0根的情况进行分类讨论:
①若方程a2x2+ax-a+1=0有两个不相等的实根,则
此时a>
.此时两个方程没有公共解,集合B中有四个元素.不合题意,舍去.
②若方程a2x2+ax-a+1=0有两个相等的实根,则
∴
解得a=
.此时方程ax2-x-1=0的两根分别为-
, 2;a2x2+ax-a+1=0的实根为x1=x2=-
.验证得:A=B={-
, 2}.
③若方程a2x2+ax-a+1=0无实根,此时A=B.则
解得:-
≤a<
且a≠0.
从而所求a的取值范围为{a|-
≤a≤
}.
则有f[f(x)]=f(x)=x,x∈B
∴A⊆B
(2)∵f(x)=ax2-1
∴f[f(x)]=a(ax2-1)2-1
若f[f(x)]=x,则a(ax2-1)2-1-x=0a(ax2-1)2-1-x=a(ax2-1)2-ax2+ax2-x-1=a[(ax2-1)2-x2]+ax2-x-1=a(ax2-x-1)(ax2+x-1)+ax2-x-1=(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)
∴B={x|(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0}A={x|ax2-x-1=0}
当a=0时,A={-1},B={-1},A=B≠∅
∴a=0符合题意
当a≠0时,当A=B≠∅时,方程ax2-x-1=0有实根;对方程a2x2+ax-a+1=0根的情况进行分类讨论:
①若方程a2x2+ax-a+1=0有两个不相等的实根,则
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此时a>
3 |
4 |
②若方程a2x2+ax-a+1=0有两个相等的实根,则
∴
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解得a=
3 |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
③若方程a2x2+ax-a+1=0无实根,此时A=B.则
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解得:-
1 |
4 |
3 |
4 |
从而所求a的取值范围为{a|-
1 |
4 |
3 |
4 |
点评:本题考查对新概念的理解和运用的能力,同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识,解题过程中体现了分类讨论的数学思想,属中档题.

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