Question

已知定义在R上的奇函数，当x∈(0,1)时,f(x)=，

(1)求f(x)在(-1，1)上的解析式；

(2)证明f(x)在(0，1)上是减函数.

Answer 1

思路分析：(1)根据函数的奇偶性，求f(x)在(-1,0］上的解析式.(2)定义法证明函数的单调性.

解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(-x)=-f(x).∴f(-0)=-f(0).

∴f(0)=0.

当-1＜x＜0时，1＞-x＞0，

∴f(x)=-f(-x)=.

∴f(x)=

(2)任取x₁,x₂∈(0,1)且x₁＜x₂，

f(x₁)-f(x₂)=

=

=

=，

∵x₁＜x₂且x₁,x₂∈(0,1)，∴＞0,＞2⁰=1，

∴＞0.

∴f(x₁)＞f(x₂).

∴f(x)在(0，1)上是减函数.