题目内容

已知动圆P:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)被y轴所截的弦长为2,被x轴分成两段弧,且弧长之比等于
13
 , |OP|≤r
(其中P(a,b)为圆心,O为坐标原点).
(1)求a,b所满足的关系式;
(2)点P在直线x-2y=0上的投影为A,求事件“在圆P内随机地投入一点,使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值.
分析:(1)利用垂径定理,勾股定理、等腰直角三角形的性质即可得出;
(2)利用点到直线的距离公式、两点间的距离公式先计算出三角形的面积,利用几何概率的计算公式得出概率,进而利用导数求得其最大值.
解答:解:(1)如图所示,设圆P被y轴所截的弦为EF,与x轴相较于C,D两点,
过点P作PM⊥EF,垂足为M,连接PE,由垂径定理可得|EM|=1,在Rt△EMP中,r2=1+a2.①
∵被x轴分成两段弧,且弧长之比等于
1
3
,设
CD
为劣弧,∴∠CPD=90°,
过点P作PN⊥x轴,垂足无N,连接PD,PC,则Rt△PND为等腰直角三角形,∴r2=2b2.②
联立①②消去r可得:2b2=1+a2,即为a,b所满足的关系式.
(2)点P到直线x-2y=0的距离|PA|=
|a-2b|
5
=d,
∵PA⊥OA,∴|OA|=
r2-|PA|2
=
r2-d2

∴S△OAP=
1
2
|OA| |PA|
=
1
2
d
r2-d2

∴事件“在圆P内随机地投入一点,使这一点恰好在△POA内”的概率P=
S△OAP
S圆P
=
1
2
d
r2-d2
πr2
1
×
d2+(r2-d2)
2r2

=
1
,当且仅当d2=r2-d2,即
r2=1+a2
r2=2b2
r2=2(
|a-2b|
5
)2
,解得
a2=
9-4
5
4
5
-7
b2=
1
4
5
-7

∴P的最大值为
1
点评:熟练掌握垂径定理,勾股定理、等腰直角三角形的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、几何概率的计算公式、利用导数研究函数的单调性是解题的关键.
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