题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左、右两个焦点为F₁、F₂，离心率为 $数学公式$ ，又抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁且与抛物线交于不同两点P、Q，且满足 $数学公式$ ，求实数λ的取值范围．

解：（1）在椭圆中，c=1， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，故椭圆方程为 $\text{[math]}$
抛物线中， $\text{[math]}$ ，所以p=2，故抛物线方程为y²=4x
（2）设直线l的方程为y=k（x+1）和抛物线方程联立，得 $\text{[math]}$
消去y，整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
因为直线和抛物线有两个交点，所以k≠0，（2k²-4）²-4k⁴＞0．
解得-1＜k＜1且k≠0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ，x₁x₂=1

又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
又y²=4x，由此得4x₁=λ²4x₂，即x₁=λ²x₂．
由x₁x₂=1，解得x₁=λ，x₂= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
又因为0＜k²＜1，所以 $\text{[math]}$ ，
解得λ＞0且λ≠1

分析：（1）根据椭圆的性质，确定几何量，从而可求椭圆的方程，利用抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程；
（2）直线l的方程和抛物线方程联立，利用直线和抛物线有两个交点，确定k的范围，利用向量知识，确定坐标之间的关系，由k的范围，可得实数λ的取值范围．
点评：本题考查椭圆与抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．