题目内容

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的,△ABC是边长为1的正三角形,曲线CA1,A1A2,A2A3分别是A,B,C为圆心,AC,BA1,CA2为半径画的弧,曲线CA1A2A3称为螺旋线的第一圈;然后又以A为圆心,AA3半径画弧,如此继续下去,这样画到第n圈.设所得螺旋线CA1A2A3…A3n-2A3n-1A3n的总长度为Sn.求
(1)S1=

(2)Sn=
n(3n+1)π
n(3n+1)π
分析:(1)当n=1时,即为螺旋线CA1A2A3的长度和,所以S1=
3
+2×
3
+3×
3
=4π
(2)由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线,是由3n条弧长构成,这些弧长的圆心角都为
3
,根据弧长公式得到这些弧长是
3
为首项,
3
为公差,项数为3n的等差数列,所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和,求出即可.
解答:解:(1)当n=1时,S1=
3
+2×
3
+3×
3
=4π
(2)根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3…A3n-2A3n-1,A3n-1A3n的长度分别为:
3
×π×1
π
3
×π× 2
π
,…,
3
×π×3n
π

化简得:
3
,2×
3
,3×
3
,…,3n×
3
,此数列是
3
为首项,
3
为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×
3
+
3n(3n-1)
2
×
3
=2nπ+nπ(3n-1)=n(3n+1)π.
故答案为:4π、n(3n+1)π
点评:本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和.解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列,此题锻炼了学生会经过观察归纳总结得出结论的能力.
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