Question

1．已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f（x）满足，对任意正数x，y满足f（xy）=f（x）f（y），且当x＞1时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若f（4）=$\frac{1}{2}$，解不等式f（x）-4≥0；
（4）求证：恒有f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）令y=1，即可求f（1）的值；
（2）利用赋值法结合函数单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若f（4）=$\frac{1}{2}$，求出f（$\frac{1}{16}$）=4，将不等式f（x）-4≥0进行转化进行求解；
（4）先证明当x＞0时，f（x）＞0然后结合偶函数的性质即可证明恒有f（x）＞0．

解答 解：（1）∵对任意正数x，y满足f（xy）=f（x）f（y），且当x＞1时，0＜f（x）＜1．
∴令x＞1，y=1，则f（x）=f（x）f（1），则f（1）=1；
（2）若0＜x＜1，则$\frac{1}{x}$＞1，0＜f（$\frac{1}{x}$）＜1
则f（1）=f（x•$\frac{1}{x}$）=f（x）f（$\frac{1}{x}$）=1，
则f（x）=$\frac{1}{f（\frac{1}{x}）}$＞1，
即当x＞0时，f（x）＞0，
设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即0＜f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜1，
则$\frac{f（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}•{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=$\frac{f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）•f（{x}_{1}）}{f（{x}_{1}）}$=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜1，
即f（x₂）＜f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）若f（4）=$\frac{1}{2}$，则f（1）=f（4×$\frac{1}{4}$）=f（4）f（$\frac{1}{4}$），
即$\frac{1}{2}$×f（$\frac{1}{4}$）=1，则f（$\frac{1}{4}$）=2，
则f（$\frac{1}{4}$）×f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$），
即f（$\frac{1}{16}$）=2×2=4，
则不等式f（x）-4≥0等价为f（x）≥4=f（$\frac{1}{16}$），
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，且函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，
∴f（x）≥f（$\frac{1}{16}$）等价为f（|x|）≥f（$\frac{1}{16}$），
即|x|≤$\frac{1}{16}$，解得-$\frac{1}{16}$≤x≤$\frac{1}{16}$且x≠0，
即不等式的解集为[-$\frac{1}{16}$，0）∪（0，$\frac{1}{16}$]．
（4）由（2）得若0＜x＜1，则$\frac{1}{x}$＞1，0＜f（$\frac{1}{x}$）＜1
则f（1）=f（x•$\frac{1}{x}$）=f（x）f（$\frac{1}{x}$）=1，
则f（x）=$\frac{1}{f（\frac{1}{x}）}$＞1，
即当x＞0时，f（x）＞0，
∵函数f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f（x）＞0，
即恒有f（x）＞0．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，函数单调性的判断和证明，不等式的求解，根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义是解决本题的关键．利用赋值法是解决抽象函数的常用方法，考查学生的运算和推理能力．