Question

下列命题中所有正确的序号是

（1）（3）（4）

．
（1）A=B=N，对应f：x→y=（x+1）²-1是映射；
（2）函数f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

都是既奇又偶函数；
（3）已知对任意的非零实数x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，则f（2）=-

1

3

；
（4）函数f（x-1）的定义域是（1，3），则函数f（x）的定义域为（0，2）；
（5）函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，则函数f（x）在（a，c）上一定是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据映射的定义进行判断，考虑对应法则；
（2）∵函数f(x)=

x2-1

+

1-x2

和y=

x-1

+

1-x

，根据f（-x）与f（x）的关系进行判断；
（3）已知对任意的非零实数x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，令x=

1

x

代入，解出f（x），从而求解；
（4）∵函数f（x-1）的定义域是（1，3），即1＜x＜3，利用整体法进行求解；
（5）根据函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，因为f（c）点是否连续，不知道，从而不能判断函数f（x）在（a，c）上一定是增函数．

解答：解：（1）A为自然数集，对应法则y=（x+1）²-1，计算结果也是非负整数，对任意x∈N，都有y∈N，故（1）正确；
（2）∵f(x)=

x2-1

+

1-x2

，∴f（-x）=f（x）为偶函数，故（2）错误；
（3）∵对任意的非零实数x都有f(x)+2f(

1

x

)=2x+1，
∴f（

1

x

）+2f（x）=

2

x

+1，联立方程得：f（x）=-

2

3

x+

4

3x

+

1

3

，∴f（2）=-

4

3

+

2

3

+

1

3

=-

1

3

；故（3）正确；
（4）∵函数f（x-1）的定义域是（1，3），1＜x＜3，∴0＜x-1＜2，∴函数f（x）的定义域为（0，2），故（4）正确；
（5）函数f（x）在（a，b]和（b，c）上都是增函数，若f（x）在c点不连续，就不能说f（x）在（a，c）上一定是增函数，故（5）错误；

点评：此题主要考查映射的定义，奇函数和偶函数的性质，命题（3）是一道好题，注意把x换为

1

x

，使问题迎刃而解，此题综合性比较强．