Question

【题目】已知 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），（0＜β＜α＜π）．
（1）若 ，求证： ；
（2）设 ，若 ，求α，β的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明： =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），

∴ =cos2α+sin2α=1，

=cos2β+sin2β=1；

又 ，

∴ +2 + =1+2 +1=2，

解得 =0，

∴ ；

（2）解：∵ ， ，

∴（cosα+cosβ，sinα+sinβ）=（0，1），

∴ ，

即 ，

两边平方，得1=2﹣2sinβ，

解得sinβ= ，sinα=1﹣ = ；

又∵0＜β＜α＜π，

∴α= ，β= ．

【解析】（1）根据平面向量的数量积运算和模长公式，求出 =0即可证明 ；（2）利用平面向量的坐标运算法则和三角恒等变换，求出sinβ和sinα的值，即可求出β与α的值．