Question

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的定义可知点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，设出抛物线的方程，根据焦点坐标求得p，则抛物线方程可得．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设存在点M（a，2）满足条件，根据题意可推断出k_AM+k_BM=0，把A，B坐标代入，同时根据抛物线方程可知x₁和y₁，x₂和y₂的关系，把直线与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，代入方程③中，求得a的值，推断出出存在点M（-1，2）满足题意．
解答：解：（1）依题意，曲线C为抛物线，且点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，
则抛物线形式为y²=-2px，由，得p=2，
则曲线C的方程为y²=-4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设存在点M（a，2）满足条件，则k_AM+k_BM=0
即，即x₂y₁+x₁y₂-2（x₁+x₂）-a（y₁+y₂）=0①
而，，②
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0，
即为：y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]-16a=0，③
由得：y²+4y-4b=0，
则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，④
将④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在点M（-1，2）满足题意．
点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的关系，抛物线的标准方程．考查了学生分析问题和运算能力的．