Question

已知曲线C上任一点P到直线x=1与点F（-1，0）的距离相等．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线y=x+b与曲线C交于点A，B，问在直线l：y=2上是否存在与b无关的定点M，使得直线MB与MA关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，曲线C为抛物线，且点F（-1，0）为抛物线的焦点，x=1为其准线，
则抛物线形式为y²=-2px，由

p

2

=1，得p=2，
则曲线C的方程为y²=-4x．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设存在点M（a，2）满足条件，则k_AM+k_BM=0
即

y1-2

x1-a

+

y2-2

x2-a

=0，即x₂y₁+x₁y₂-2（x₁+x₂）-a（y₁+y₂）=0①
而x1=-

y 21

4

，x2=-

y 22

4

，②
整理得y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2（y₁²+y₂²）-16a=0，
即为：y₁y₂（y₁+y₂）+4a（y₁+y₂）-2[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]-16a=0，③
由

y=x+b y2=-4x

得：y²+4y-4b=0，
则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，④
将④代入③得：-4b×（-4）+4a×（-4）-2[（-4）²+8b]-16a=0，即a=-1．
因此，存在点M（-1，2）满足题意．