Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是R上的偶函数，其图象关于点$M（\frac{3π}{4}，0）$对称，且在区间$[0，\frac{π}{4}]$上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

分析 由f（x）是偶函数求得$φ=\frac{π}{2}$．所以f（x）=cosωx；由f（x）的图象关于点M对称，求得ω的值的范围；再根据又f（x）在$[0，\frac{π}{ω}]$单调递减，且在区间$[0，\frac{π}{4}]$上是单调函数，求得ω的值．

解答 解：由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，所以得cosφ=0．
依题意0＜ϕ＜π，所以解得$φ=\frac{π}{2}$．所以f（x）=cosωx．
由f（x）的图象关于点M对称，∴$f（\frac{3π}{4}）=sin（\frac{3ωπ}{4}+\frac{π}{2}）=cos\frac{3ωπ}{4}=0$，
得$\frac{3ωπ}{4}=\frac{π}{2}+kπ，k=1，2，3…$，∴$ω=\frac{2}{3}（2k+1），k=0，1，2，…$．
又f（x）在$[0，\frac{π}{ω}]$单调递减，且在区间$[0，\frac{π}{4}]$上是单调函数，
所以$\frac{π}{4}≤\frac{π}{ω}$，所以$0＜ω=\frac{2}{3}（2k+1）≤4$，所以k=0，1，2，
所以，综合得$ω=\frac{2}{3}或ω=2或ω=\frac{10}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的奇偶性、单调性以及正弦函数的图象的对称性，属于中档题．