Question

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}．
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={2}，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），设M-m=g（a），求g（a）的表达式；
（3）设g（a）的最小值为h（n），估算使h（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接写出你的结果，不必详细说理）．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=2可求得c=2，由ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，可知1和2是ax²+（b-1）x+2=0的两个根，从而可求得a，b，从而有f（x）的表达式，继而可求得M和m的值；
（2）依题意可求得f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，从而可求得M与m，M-m=g（a），于是可求得g（a）的表达式；
（3）由g（a）=16a+

1

4a

-4在[2ⁿ，+∞）为增函数，可求得g（a）的最小值为h（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．

解答：解：（1）∵A=[1，2]，f（0）=2，故c=2，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2=0的两个根x₁=1，x₂=2，由韦达定理，a=1，b=-2．
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1，5′
（2）A={2}，
∴ax²+（b-1）x+2=0有两个等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，
其对称轴x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈（0，2），（a≥2ⁿ），
∴M=f（-2）=16a-2，
m=

8a-1

4a

g（a）=16a+

1

4a

-4，（a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊））．       10′
（3）g（a）在[2ⁿ，+∞）为增函数，
∴h（n）=g（2ⁿ）=2ⁿ⁺¹+

1

2n+2

-4，
所以满足条件的n取值为6、7、8、9.16′

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查二次函数解析式的确定及其性质的应用，考查化归思想与综合分析与思维运算能力，属于难题．