Question

2．已知⊙C：（x+2）²+y²=1，P（x，y）为⊙C上任意一点，求以下各式的值域．
（1）$\frac{y-2}{x-1}$；
（2）x-2y；
（3）x²-4x+y²-6y+15．

Answer 1

分析 （1）设k=$\frac{y-2}{x-1}$，则kx-y-k+2=0，利用圆心到直线的距离d=$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，可得函数的值域；
（2）（3）利用圆的参数方程，结合辅助角公式，即可求得值域．

解答 解：（1）设k=$\frac{y-2}{x-1}$，则kx-y-k+2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-3k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，∴2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≤k≤2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴值域是[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]；
（2）设x=-2+cosα，y=sinα，则x-2y=-2+cosα-2sinα=-2+$\sqrt{5}$sin（α+θ）∈[-2-$\sqrt{5}$，-2+$\sqrt{5}$]；
（3）设x=-2+cosα，y=sinα，则x²-4x+y²-6y+15=28-8cosα-6sinα=28-10sin（α+γ）∈[18，38]．

点评 本题考查圆的方程的运用，考查直线与圆的位置关系，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，正确运用圆的参数方程是关键．