题目内容

已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）|≤ $数学公式$ 恒成立，求函数f（x）的表达式；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=m和x=n处取得极值，且a+b≤2 $数学公式$ ．问：是否存在常数a、b，使得 $数学公式$ • $数学公式$ =0？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）f（x）=x³-2ax²+a²x 令f'（x）=3x²-4ax+a²=0，
得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=a．（2分）
1° 当a＞0 时，x₁＜x₂
∴所求单调增区间是 $\text{[math]}$ ，（a，+∞），单调减区间是（ $\text{[math]}$ ，a ）
2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a）， $\text{[math]}$ ，单调减区间是（a， $\text{[math]}$ ）
3° 当a=0 时，f'（x）=3x²≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x³-（a+b）x²+abx∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
∵当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤ $\text{[math]}$ ∴- $\text{[math]}$ ，（8分）即 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
此时，满足当x $\text{[math]}$ 恒成立．
∴ $\text{[math]}$ x．（10分）
（3）存在a，b，使得 $\text{[math]}$ ，则m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由题设，m，n是f'（x）=0的两根
∴ $\text{[math]}$ ②（12分）②代入①得：ab（a-b）²=9
∴ $\text{[math]}$ ，当且仅当 $\text{[math]}$ 时取“=”
∴ $\text{[math]}$ ∵a+b≤2 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
又∵ab= $\text{[math]}$ ．（16分）
分析：（1）由已知可得f'（x）=3x²-4ax+a²=0得：x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=a，要比较a与， $\text{[math]}$ 的大小，故需分a＞0，a＜0 时，a=0 三种情况讨论，进行求解函数的单调区间
（2）由于f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤ $\text{[math]}$
可得- $\text{[math]}$ ，代入可求a，b的关系及函数的解析式
（3）假设存在a，b，使得 $\text{[math]}$ ，则可得m•n+f（m）•f（n）=0，由题设，m，n是f'（x）=0的两根，代入可得ab（a-b）²=9，结合基本不等式可求
点评：本题以结合函数的导数知识：导数与函数的单调性、导数与函数的极值，考查了函数的恒成立问题的转化，属于函数知识的综合应用．