Question

某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立．又知电梯只在有人下时才停止．
（I）求某乘客在第i层下电梯的概率（i=2，3，4，5）；
（Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率；
（Ⅲ）求电梯停下的次数ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生的所有事件数共有4种结果，而满足条件的只有一个结果，根据古典概型公式得到结果．
（2）由第一问知一个乘客在某一层下的概率是

1

4

，有4个乘客相当于发生4次独立重复试验，电梯在第2层停下的对立事件是都不在第二层下，不在某一层下的概率是1-

1

4

．
（3）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，可能在第五、第四、第三、第二层停，所以ξ可取1、2、3、4四种值，当ξ=1时表示电梯在整个过程中只停一次，又变为古典概型．

解答：解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件数共有4种结果，
而满足条件的只有一个结果，
∴P=

1

4

．
（Ⅱ）由第一问知一个乘客在某一层下的概率是

1

4

，
有4个乘客相当于发生4次独立重复试验，
电梯在第2层停下的对立事件是都不在第二层下，
∴P=1-(1-

1

4

)4=

175

256

（Ⅲ）由题意知ξ可取1、2、3、4四种值，
P(ξ=1)=

C 1 4

44

=

1

64

；
P(ξ=2)=

C 2 4 (24-2)

44

=

21

64

；
P(ξ=3)=

C 3 4 C 2 4 A 3 3

44

=

36

64

；
P(ξ=4)=

A 4 4

44

=

6

64

故ξ的分别列如下表：

∴Eξ=

1

64

+2×

21

64

+3×

36

64

+4×

6

64

=

175

64

点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．