Question

【题目】已知f（x）=lnx+ax2﹣ax+5，a∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ；

∵f（x）在x=1处有极值，∴f′（1）=1+2a﹣a=0；

解得：a=﹣1；

此时 ；

当0＜x＜1时f′（x）＞0，当x＞1时f′（x）＜0，符合题意；

∴实数a的值为﹣1

（2）解：∵函数f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；

∴ 在（0，+∞）恒成立；

即2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）恒成立；

当a＜0时，显然不符合题意；

当a=0时，1≥0恒成立，符合题意；

当a＞0时，要使 恒成立；

需 ，解得0＜a≤8；

综上可知实数a的取值范围是[0，8]

【解析】（1）求导数得到 ，根据f（x）在x=1处有极值便可得到f′（1）=0，从而可求出a的值，并可验证该值成立；（2）根据f（x）在区间（0，+∞）内单调递增便可得出f′（x）≥0恒成立，进而得出2ax2﹣ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立，这样讨论a的值：a＜0，a=0，和a＞0这三种情况，对每种情况验证是否满足条件，从而求出实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．