Question

（本小题满分12分）

设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB.

(Ⅰ) 求三角形ABC顶点C的轨迹方程；

(Ⅱ) 设顶点C的轨迹为D，已知直线过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，

满足OP⊥ON，求直线的方程.

 

 

Answer 1

【答案】

 

（I）设C（x，y）（xy≠0）                                …………1分

    ∵MG∥AB，可设G（a ,b），则M（0，b）.                      

∴                     (1)                     …………3分

∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，

即           （2）                   …………4分

由（1）（2）得.

所以三角形顶点C的轨迹方程为.         …………6分

（II）设直线l的方程为，，，

    由消y得。                 …………8分

∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=，

又，。

∵，∴，∴  …………6分

∴，∴。          …………11分

∴直线l的方程为。                             …………12分

 

【解析】略