题目内容

精英家教网如图,在△ABC中,已知A(-3,0),B(3,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心为
H且
CD
=9
CH

(Ⅰ)求点H的轨迹方程;
(Ⅱ)设P(-1,0),Q(1,0),那么
1
|HP|
1
|PQ|
1
|QH|
能否成等差数列?请说明理由;
(Ⅲ)设直线AH,BH与直线l:x=9分别交于M,N点,请问以MN为直径的圆是否经过定点?并说明理由.
分析:(Ⅰ)设点C(x,y),由题意得H(x,
8
9
y),则
AC
=(x+3,y),
BH
=(x-3,
8
9
y)
,由于AC⊥BH,于是
AC
BH
=x2-9+
8
9
y2=0
,又y=0时
AC
BH
共线,不合题意.故点C的轨迹方程为x2+
8
9
y2=9
(y≠0).由此能得到得到点H的轨迹方程为
x2
9
+
y2
8
=1,(y≠0)

(Ⅱ)设H(3cosα,2
2
sinα) ,α∈(0,π)∪(π,2π)
,则
PH
=(3cosα+1,2
2
sinα)
QH
=(3cosα-1,2
2
sinα)
,由此能得到
1
|HP|
1
|PQ|
1
|QH|
不能构成等差数列.
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),于是
AM
=(12,m),
AH
=(3cosα+3,2
2
sinα)
,由A,H,M三点共线得m=
8
2
sinα
cosα+1
.由B,H,N三点共线得n=
4
2
sinα
cosα-1
,又M(9,
8
2
sinα
cosα+1
) ,N(9,
4
2
sinα
cosα-1
)
,以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(
8
2
sinα
cosα+1
+
4
2
sinα
cosα-1
) y-64=0
,由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点(17,0).
解答:解:(Ⅰ)设点C(x,y),由题意得H(x,
8
9
y),
AC
=(x+3,y),
BH
=(x-3,
8
9
y)
,由于AC⊥BH,
于是
AC
BH
=x2-9+
8
9
y2=0

又y=0时
AC
BH
共线,不合题意.故点C的轨迹方程为x2+
8
9
y2=9
(y≠0).
设点H(x,y),C(x0,y0),则x02+
8
9
y02=9
(y0≠0),
x=x0
y=
8
9
y0
得到点H的轨迹方程为
x2
9
+
y2
8
=1,(y≠0)
.(4分)
(Ⅱ)设H(3cosα,2
2
sinα) ,α∈(0,π)∪(π,2π)
,则
PH
=(3cosα+1,2
2
sinα)
QH
=(3cosα-1,2
2
sinα)

1
|
PH
|
+
1
|
QH
|
=
1
3+cosα
+
1
3-cosα
=
6
9-cos2α
6
8
=
3
4
<1=
2
|PQ|

所以
1
|HP|
1
|PQ|
1
|QH|
不能构成等差数列.(9分)
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),
于是
AM
=(12,m),
AH
=(3cosα+3,2
2
sinα)

由A,H,M三点共线得12×2
2
sinα-m(3cosα+3)=0
,∴m=
8
2
sinα
cosα+1

由B,H,N三点共线得n=
4
2
sinα
cosα-1
,又M(9,
8
2
sinα
cosα+1
) ,N(9,
4
2
sinα
cosα-1
)
,以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(
8
2
sinα
cosα+1
+
4
2
sinα
cosα-1
) y-64=0

解得
x=1
y=0
(舍)或
x=17
y=0
.故以MN为直径的圆必过椭圆外定点(17,0).(15分)
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
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