题目内容
如图,在△ABC中,已知A(-3,0),B(3,0),CD⊥AB于D,△ABC的垂心为H且
CD |
CH |
(Ⅰ)求点H的轨迹方程;
(Ⅱ)设P(-1,0),Q(1,0),那么
1 |
|HP| |
1 |
|PQ| |
1 |
|QH| |
(Ⅲ)设直线AH,BH与直线l:x=9分别交于M,N点,请问以MN为直径的圆是否经过定点?并说明理由.
分析:(Ⅰ)设点C(x,y),由题意得H(x,
y),则
=(x+3,y),
=(x-3,
y),由于AC⊥BH,于是
•
=x2-9+
y2=0,又y=0时
,
共线,不合题意.故点C的轨迹方程为x2+
y2=9(y≠0).由此能得到得到点H的轨迹方程为
+
=1,(y≠0).
(Ⅱ)设H(3cosα,2
sinα) ,α∈(0,π)∪(π,2π),则
=(3cosα+1,2
sinα),
=(3cosα-1,2
sinα),由此能得到
,
,
不能构成等差数列.
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),于是
=(12,m),
=(3cosα+3,2
sinα),由A,H,M三点共线得m=
.由B,H,N三点共线得n=
,又M(9,
) ,N(9,
),以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(
+
) y-64=0,由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点(17,0).
8 |
9 |
AC |
BH |
8 |
9 |
AC |
BH |
8 |
9 |
AC |
BH |
8 |
9 |
x2 |
9 |
y2 |
8 |
(Ⅱ)设H(3cosα,2
2 |
PH |
2 |
QH |
2 |
1 |
|HP| |
1 |
|PQ| |
1 |
|QH| |
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),于是
AM |
AH |
2 |
8
| ||
cosα+1 |
4
| ||
cosα-1 |
8
| ||
cosα+1 |
4
| ||
cosα-1 |
8
| ||
cosα+1 |
4
| ||
cosα-1 |
解答:解:(Ⅰ)设点C(x,y),由题意得H(x,
y),
则
=(x+3,y),
=(x-3,
y),由于AC⊥BH,
于是
•
=x2-9+
y2=0,
又y=0时
,
共线,不合题意.故点C的轨迹方程为x2+
y2=9(y≠0).
设点H(x,y),C(x0,y0),则x02+
y02=9(y0≠0),
由
得到点H的轨迹方程为
+
=1,(y≠0).(4分)
(Ⅱ)设H(3cosα,2
sinα) ,α∈(0,π)∪(π,2π),则
=(3cosα+1,2
sinα),
=(3cosα-1,2
sinα),
故
+
=
+
=
<
=
<1=
,
所以
,
,
不能构成等差数列.(9分)
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),
于是
=(12,m),
=(3cosα+3,2
sinα)
由A,H,M三点共线得12×2
sinα-m(3cosα+3)=0,∴m=
;
由B,H,N三点共线得n=
,又M(9,
) ,N(9,
),以MN为直径的圆的方程为(x-9)2+y2-(
+
) y-64=0
解得
(舍)或
.故以MN为直径的圆必过椭圆外定点(17,0).(15分)
8 |
9 |
则
AC |
BH |
8 |
9 |
于是
AC |
BH |
8 |
9 |
又y=0时
AC |
BH |
8 |
9 |
设点H(x,y),C(x0,y0),则x02+
8 |
9 |
由
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x2 |
9 |
y2 |
8 |
(Ⅱ)设H(3cosα,2
2 |
PH |
2 |
QH |
2 |
故
1 | ||
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1 | ||
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1 |
3+cosα |
1 |
3-cosα |
6 |
9-cos2α |
6 |
8 |
3 |
4 |
2 |
|PQ| |
所以
1 |
|HP| |
1 |
|PQ| |
1 |
|QH| |
(Ⅲ)设M(9,m),N(9,n),则A(-3,0),B(3,0),
于是
AM |
AH |
2 |
由A,H,M三点共线得12×2
2 |
8
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cosα+1 |
由B,H,N三点共线得n=
4
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cosα-1 |
8
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cosα+1 |
4
| ||
cosα-1 |
8
| ||
cosα+1 |
4
| ||
cosα-1 |
解得
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点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件.
练习册系列答案
相关题目
如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=
BD,BC=2BD,则sinC的值为( )
3 |
A、
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B、
| ||||
C、
| ||||
D、
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