题目内容
12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），过左焦点F1（-1，0）的直线与椭圆C交于M、N两点，且△F2MN的周长为8；过点P（4，0）且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围；
（Ⅲ）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．
分析 （Ⅰ）由题意可得c=1，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线PB的方程为y=k（x-4），代入椭圆方程，运用韦达定理，及向量的数量积的坐标表示，化简整理，由不等式的性质，即可得到所求范围；
（Ⅲ）求得E的坐标，以及直线AE的方程，令y=0，运用韦达定理，化简整理，即可得到所求定点．
解答 解：（Ⅰ）由题意可得c=1，
△F2MN的周长为8，由椭圆的定义可得4a=8，可得a=2，
即有b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）解：由题意知直线AB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4），
由代入椭圆的方程得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0
由△=（-32k2）2-4（4k2+3）（64k2-12）＞0得：k2＜$\frac{1}{4}$，
设A（x1，y1），B （x2，y2），
则x1+x2=$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$①，
∴y1y2=k2（x1-4）（x2-4）=k2x1x2-4k2（x1+x2）+16k2，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=（1+k2）•$\frac{64{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$-4k2•$\frac{32{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$+16k2=25-$\frac{87}{3+4{k}^{2}}$，
∵0≤k2＜$\frac{1}{4}$，∴-29≤-$\frac{87}{3+4{k}^{2}}$＜-$\frac{87}{4}$，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-4，$\frac{13}{4}$），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是[-4，$\frac{13}{4}$）．
（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2，-y2），
直线AE的方程为y-y1=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x-x1），令y=0得：x=x1-$\frac{{y}_{1}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
又y1=k（x1-4），y2=k（x2-4），∴x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}-8}$，
由将①代入得：x=1，
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）．
点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
| A． | $\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$ | ||
| C． | $\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$≤a＜-$\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$＜a≤-$\frac{1}{3}$ |
| A． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |