题目内容

先将函数f(x)=sinxcosx的图象向左平移
π
4
个长度单位,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的
1
2
,得到函数g(x)的图象.则g(x)的一个增区间可能是(  )
分析:根据函数图象平移公式和三角变换公式,可得g(x)=
1
2
cos4x,再用余弦函数单调区间的结论即可得到本题答案.
解答:解:∵f(x)=sinxcosx=
1
2
sin2x
∴f(x)的图象向左平移
π
4
个长度单位,可得y=f(x+
π
4
)=
1
2
sin(2x+
π
2
)=
1
2
cos2x
再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的
1
2
,可得
g(x)=
1
2
cos4x
令-π+2kπ≤4x≤2kπ(k∈Z),可得x∈(-
π
4
+
1
2
kπ,
1
2
kπ)(k∈Z),
由此可得g(x)的增区间为(-
π
4
+
1
2
kπ,
1
2
kπ)(k∈Z),
再取k=1,得(
π
4
π
2
),因此D项符合题意
故选:D
点评:本题将三角函数式化简,图象平移、伸缩后求它的单调区间,着重考查了函数图象平移公式和三角变换公式、余弦函数的单调性等知识,属于基础题.
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