题目内容
16．已知命题p：抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点F在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1上．命题q：直线l经过抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点F，且直线l过椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1的左焦点F1．p∧q是真命题．（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与抛物线相交于A、B，直线l1、l2分别切抛物线于A、B，求l1、l2的交点P的坐标．
分析 （Ⅰ）通过将抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点F（0，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1得b=1，进而椭圆的左焦点是F1（-1，0），计算即得结论；
（Ⅱ）不妨假定点A在第二象限，通过联立直线l与椭圆方程可知A、B点坐标，利用对抛物线方程求导可知斜率，进而计算可得结论．
解答 解：（Ⅰ）抛物线y=$\frac{1}{4}$x2的焦点为F（0，1），…（1分）
∵p∧q是真命题，
∴将F（0，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$=1得：b=1． …（2分）
∴椭圆方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1，它的左焦点是F1（-1，0）． …（3分）
∴直线l的方程是：y=x+1． …（5分）
（Ⅱ）不妨假定点A在第二象限，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得：A（2-$2\sqrt{2}$，3-$2\sqrt{2}$），B（2+$2\sqrt{2}$，3+$2\sqrt{2}$）． …（7分）
由y=$\frac{1}{4}$x2得，y′=$\frac{1}{2}$x，
所以直线l1、l2的斜率分别是1-$\sqrt{2}$、1+$\sqrt{2}$，…（9分）
∴直线l1：y-（3-$2\sqrt{2}$）=（1-$\sqrt{2}$）（x-2+$2\sqrt{2}$）、
直线l2：y-（3+$2\sqrt{2}$）=（1+$\sqrt{2}$）（x-2-$2\sqrt{2}$）． …（10分）
解两个方程构成的方程组得P（2，-1）． …（12分）
点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查直线方程、直线交点坐标，注意解题方法的积累，属于中档题．
| A． | a＞b＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$ | B． | a＞$\frac{a+b}{2}$＞$\sqrt{ab}$＞b | C． | a＞$\frac{a+b}{2}$＞b＞$\sqrt{ab}$ | D． | a＞$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$＞b |
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2$\sqrt{3}$的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分别为PB，PD的中点．
如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：
如图，已知$\overrightarrow{OP}$=（2，1），$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．