Question

设等比数列{a_n}的首项为a₁=2，公比为q（q为正整数），且满足3a₃是8a₁与a₅的等差中项；数列{a_n}满足2n²-（t+b_n）n+b_n=0（t∈R，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列．

Answer 1

解：（1）由题意，6a₃=8a₁+a₅，则6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，
因为q为正整数，所以q=2，又a₁=2，所以a_n=2ⁿ
（2）当n=1时，2-（t+b₁）b₁=0，得b₁=2t-4，
同理可得：n=2时，b₂=16-4t，n=3时，b₃=12-2t，
则由b₁+b₃=2b₂，得t=3，
并且，当t=3时，，
得b_n=2n，由b_n+1-b_n=2，知此时数列{b_n}为等差数列．
故答案为：t=3．
分析：（1）由题意，6a₃=8a₁+a₅，则6q²=8+q⁴，解得q²=4或q²=2，因为q为正整数，所以q=2，故可得通项；
（2）分别令n=1，2，3，可得得b₁=2t-4，b₂=16-4t，b₃=12-2t，由b₁+b₃=2b₂，可得得t=3，代入原式可得，得b_n=2n，由等差数列的定义可判．
点评：本题为等差、等比数列的综合应用，正确运用公式是解决问题的关键，属基础题．