Question

已知函数f（x）是区间D⊆[0，+∞）上的增函数．若f（x）可表示为f（x）=f₁（x）+f₂（x），其中f₁（x）是D上的增函数，f₂（x）是D上的减函数，且函数f₂（x）的值域A⊆[0，+∞），则称函数f（x）的区间D上的“偏增函数”
（1）试说明y=sinx+cosx是区间（0，

π

4

）上的“偏增函数”；
（2）记f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a为常数），是判断f（x）=f₁（x）+f₂（x）是否是区间（0，1]上的“偏增函数”，若是，证明你的结论，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，利用辅助角公式化简得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），根据正弦函数的图象与性质得到函数y=sinx+cosx在区间（0，

π

4

）上是增函数，再由f₁（x）=sinx、f₂（x）=cosx在区间（0，

π

4

）上的单调性可得y=sinx+cosx是区间（0，

π

4

）上的“偏增函数”；
（2）利用函数的单调性的定义，证出当a=1时f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在区间（0，1]上是减函数，不符合“偏增函数”的定义，由此即可得到对于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a为常数），函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”．

解答：解：（1）记f₁（x）=sinx，f₂（x）=cosx，
得y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）
设-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
取k=0，得区间[-

3π

4

，

π

4

]是y=sinx+cosx的一个递增区间，
故y=sinx+cosx是区间（0，

π

4

）上是增函数
又∵f₁（x）=sinx在区间（0，

π

4

）上是增函数，f₂（x）=cosx在区间（0，

π

4

）上是减函数
∴在区间（0，

π

4

）上y=sinx+cosx符合“偏增函数”的定义，即y=sinx+cosx是区间（0，

π

4

）上的“偏增函数”；
（2）∵f₁（x）=x，f₂（x）=

a

x

（a为常数），y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

a

x

∴取a=1，得y=f（x）=f₁（x）+f₂（x）=x+

1

x

在区间（0，1]上取x₁、x₂，且x₁＜x₂，
得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x 2

）=（x₁-x₂）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁-x₂＜0，由

1

x1x2

＞1得1-

1

x1x2

＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
因此，y=x+

1

x

在区间（0，1]上是减函数，
∴当a=1时，f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”
综上所述，对于f₁（x）=x和f₂（x）=

a

x

（a为常数），函数f（x）=f₁（x）+f₂（x）不是区间（0，1]上的“偏增函数”．

点评：本题给出“偏增函数”的定义，要求我们判断两个函数是否为其定义域内的“偏增函数”．着重考查了正弦函数的图象与性质、函数的单调性的定义与证明等知识，属于中档题．