Question

已知递增等差数列{a_n}满足：a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若不等式（1-

1

2a1

）•（1-

1

2a2

）…（1-

1

2an

）≤

m

2an+1

对任意n∈N⁺，试猜想出实数m小值，并证明．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），由a₁，a₂，a₄成等比数列可求得d，从而可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由（1）得a_n=n，可将原不等式转化为

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

m

2n+1

，利用n=1与n=2即可猜想m的最小值为

3

2

，利用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）设数列{a_n}公差为d（d＞0），
由题意可知a₁•a₄=a22，即1（1+3d）=（1+d）²，
解得d=1或d=0（舍去）．
所以，a_n=1+（n-1）•1=n．
（2）不等式等价于

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

m

2n+1

，
当n=1时，m≥

3

2

；当n=2时，m≥

3 5

8

；
而

3

2

＞

3 5

8

，所以猜想，m的最小值为

3

2

．
下证不等式

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

3 2

2n+1

对任意n∈N^*恒成立．
下面用数学归纳法证明．
证明：1°当n=1时，

1

2

≤

3 2

3

=

1

2

，成立．
2°假设当n=k时，不等式，

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2k-1

2k

≤

3 2

2k+1

成立，
当n=k+1时，

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2k-1

2k

•

2k+1

2k+2

≤

3 2

2k+1

•

2k+1

2k+2

，
只要证

3 2

2k+1

•

2k+1

2k+2

≤

3 2

2k+3

，
只要证

2k+1

2k+2

≤

1

2k+3

，
只要证

2k+1

-

2k+3

≤2k+2，
只要证4k²+8k+3≤4k²+8k+4，
只要证3≤4，显然成立．
所以，对任意n∈N^*，不等式

1

2

•

3

4

•

5

6

…

2n-1

2n

≤

3 2

2n+1

恒成立．

点评：本题考查数学归纳法，考查等差数列的通项公式，考查猜想与推理证明的能力，猜想出m的值是关键，也是难点，属于难题．