Question

已知函数f（x）=x²-3ax+1，g(x)=log4(x2+2x+3)．
（1）求函数g（x）的值域；
（2）求函数f（x）在[a，+∞）上的最小值；
（3）若对于任意的x₁∈[a，+∞），都存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要求函数f（x）的值域，只要求t=x²+2x+3最小值，进而可求函数的值域；
（2）先配方得到函数的对称轴，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，+∞）的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值；
（3）对于任意x₁∈[a，+∞），总存在x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立转化为f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值

1

2

，列出不等式求出a的范围．

解答：解：（1）设t=x²+2x+3，则g（x）=log₄t
∵t=（x+1）2+2≥2，即t∈[2，+∞），
函数g（x）的值域为[

1

2

，+∞）；
（2）∵f（x）=（x-

3a

2

）²+1-

9

4

a²，
当a≥0时，

3a

2

∈[a，+∞），
这时，y_min=f（

3a

2

）=1-

9

4

a²；
当a＜0时，f（x）在[a，+∞）上是增函数，这时，f（x）在[a，+∞）上的最小值为：
f（a）=1-2a²
综上，函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为：
当a≥0时，1-

9

4

a²
当a＜0时，1-2a²  （8分）
（3）g（x）在R上的最小值为

1

2

由题意得f（x）在[a，+∞）上的最小值大于或等于g（x）在R上的最小值

1

2

当a≥0时，由1-

9

4

a²≥

1

2

解得 -

2

3

≤a≤

2

3

这时，0≤a≤

2

3

当a＜0时，1-2a²≥

1

2

解得：-

1

2

≤a≤

1

2

这时，-

1

2

≤a＜0
综上，a的取值范围为：-

1

2

≤a≤

2

3

 （14分）

点评：本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．对于二次函数，配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间也是不确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论．