Question

如图，在Rt△ABC中，, BE平分∠ABC交AC于点E， 点D在AB上，．

(Ⅰ)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
(Ⅱ)若，求EC的长．

Answer 1

(Ⅰ)取BD的中点O，连接OE．∠C=90°，得OE⊥AC，确定AC是△BDE的外接圆的切线．
(Ⅱ) EC=3．

解析试题分析：(Ⅰ)取BD的中点O，连接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．         3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．              5分
(Ⅱ)设⊙O的半径为r，则在△AOE中，
，即，解得,
∴OA=2OE， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=．         10分
考点：平面几何选讲，圆的几何性质。
点评：中档题，本题作为选考内容，难度不大，正确解题的关键是，充分借助于几何图形的特征，利用“垂直关系”解题。