Question

10．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，-$\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$的图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，它的最小正周期为π，则（　　）

• A． f（x）的图象过点$（0，\frac{1}{2}）$
• B． f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上是减函数
• C． f（x）的一个对称中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$
• D． f（x）的一个对称中心是$（{\frac{π}{6}，0}）$

Answer 1

分析 根据周期求出ω，根据函数图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称求出φ，可得函数的解析式，根据函数的解析式判断各个选项是否正确．

解答 解：由题意可得 $\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，可得f（x）=Asin（2x+φ）．
再由函数图象关于直线x=$\frac{2π}{3}$对称，故f（$\frac{2π}{3}$）=Asin（$\frac{4π}{3}$+φ）=±A，故可取φ=$\frac{π}{6}$．
故函数f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈z，故选项B不正确．
由于A不确定，故选项A不正确． 令2x+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈z，可得 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈z，
故函数的对称中心为 （$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，0），k∈z，故选项C正确．选项D不正确．
故选：C

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题