Question

(本小题满分12分）

   已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。        

Answer 1

解析:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得

，     

所以椭圆的标准方程为        

（Ⅱ）设，其中。由已知及点在椭圆上可得

。

整理得，其中。

（i）时。化简得     

所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段。

（ii）时，方程变形为，其中

当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；

当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；