题目内容
已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间.
(1)a=(2)当a≤0时f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).当0<a<
时,f(x)的单调递增区间是(0,2)和
,单调递减区间是
.当a=
时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞).f(x)的单调递增区间是(0,+∞).f(x)的单调递增区间是
和(2,+∞),单调递减区间是
【解析】f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).
(1)由题意得f′(1)=f′(3),解得a=.
(2)f′(x)= (x>0).
①当a≤0时,x>0,ax-1<0.在区间(0,2)上,f′(x)>0;在区间(2,+∞)上,f′(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).
②当0<a<时,
>2.在区间(0,2)和
上,f′(x)>0;在区间
上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是
.
③当a=时,f′(x)=
≥0,
故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当a>时,0<
<2,在区间
和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间
上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是

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