Question

（2013•乐山一模）已知数列{a_n}是等差数列，a₅=5，若（6-a₁）

OB

=a₂

OA

+a₃

OC

，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点）；点列（n，b_n）在函数f(x)=log

1

2

x的反函数的图象上．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列C_n=a_nb_n+b_n（n∈N^*），若{C_n}的前n项和为T_n，求使不等式

3-Tn

n+3

＜

1

64

成立的最小自然数n的值．

Answer 1

分析：（1）利用三点共线的结论，可得6-a₁=a₂+a₃，结合a₅=5，求出首项与公差，可求a_n；利用点列（n，b_n）在函数f(x)=log

1

2

x的反函数的图象上，可求b_n；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求和，即可求得结论．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则
∵（6-a₁）

OB

=a₂

OA

+a₃

OC

，且A、B、C三点共线，
∴由三点共线的条件，可得6-a₁=a₂+a₃，∴a₁+d=2，
∵a₅=5，∴a₁+4d=5，
∴d=1，a₁=1，
∴a_n=n；
∵点列（n，b_n）在函数f(x)=log

1

2

x的反函数的图象上
∴bn=(

1

2

)n；
（2）C_n=a_nb_n+b_n=(n+1)•(

1

2

)n，
∴T_n=2•

1

2

+3•(

1

2

)2+…+(n+1)•(

1

2

)n，
∴

1

2

T_n=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+(n+1)•(

1

2

)n+1
两式相减，可得

1

2

T_n=2•

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1=

3

2

-(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1
∴T_n=3-(

1

2

)n-1-(n+1)•(

1

2

)n
∴3-T_n=(

1

2

)n-1+(n+1)•(

1

2

)n
∴

3-Tn

n+3

＜

1

64

等价于(

1

2

)n＜(

1

2

)6
∴n＞6
∴使不等式

3-Tn

n+3

＜

1

64

成立的最小自然数n的值为7．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，确定数列的通项，正确求和是关键．