题目内容
如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,底面, ,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)证明:直线平面;
(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小;
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)异面直线与所成角为.
解析试题分析:(Ⅰ)证明:直线平面,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,本题虽有中点,但没直接的三角形,可考虑用平行四边形的对边平行,可取OD的中点G,连结CG,MG,证明四边形为平行四边形即可,也可取中点,连接,,利用面面平行则线面平行,证平面平面即可.也可利用向量法,作于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系,利用向量与平面的法向量垂直,即数量积等于零;(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小,分别写出异面直线与对应向量的坐标,由向量的夹角公式即可求出.
试题解析:方法一(综合法)
(Ⅰ)取中点,连接,
又
(Ⅱ)
为异面直线与所成的角(或其补角),
作连接 , ,,,
, ,
所以 与所成角的大小为
方法二(向量法)
作于点P,如图,分别以,所在直线为轴建立坐标系.
,
,
(Ⅰ),
设平面的法向量为,则
即 , 取,解得
..
(Ⅱ)设与所成的角为,
, , 即与所成角的大小为.
考点:线面平行的判断,异面直线所成的角.
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