Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x₀）的“滞点”，已知函数f（x）=

x2

2x-2

．
（1）试问C_f（x）有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；
（2）已知数列{a_n}的各项均为负数，且满足4S_n•f（

1

an

）=1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x，得一方程，看该方程是否有解即可，注意检验；
（2）由题意得4S_n•（

1

an

）²=2（

1

an

-1），所以2S_n=a_n-a_n²，故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²，两式作差可得递推式，由递推式及已知条件可判断该数列为等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）由f（x）=x得

x2

2x-2

=x，即x²-2x=0（x≠1），
解得x=0，或x=2，
∴函数f（x）=

x2

2x-2

有两个滞点0和2．
（2）由已知4S_n•f（

1

an

）=1，得4S_n•（

1

an

）²=2（

1

an

-1），
∴2S_n=a_n-a_n²①，
故2S_n+1=a_n+1-a_n+1²②，
由②-①得2a_n+1=a_n+1-a_n+1²-a_n+a_n²，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n+1）=0，
∵a_n＜0，
∴a_n+1-a_n=-1，即{a_n}是等差数列，且d=-1，
当n=1时，由2S₁=a₁-a₁²=2a₁得a₁=-1，
∴a_n=-n．

点评：本题考查数列与函数的综合应用，解题时要认真审题，正确理解题意是解决问题的关键．