Question

过点M（3，0）作直线l与圆x²+y²=25交于A、B两点．
（1）若点P是线段AB的中点，求点P的轨迹方程；
（2）求直线l的倾斜角为何值时△AOB的面积最大，并求这个最大值．

Answer 1

分析：（1）设出G的坐标，利用Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．说明P点的轨迹为以G为圆心

3

2

为半径的圆，得到P的轨迹方程．
（2）令|OP|=h，由题意知0＜h≤3，求出△AOB的面积的表达式，利用二次函数在闭区间上的最大值求解即可．

解答：解：（1）∵P是AB中点，∴OP⊥AB，取OM中点G，则在Rt△OMP中必有|GP|=

1

2

|OM|=

3

2

．
∴P点的轨迹为以G为圆心

3

2

为半径的圆，令P（x，y）则(x-

3

2

)2+y2=

9

4

，
即x²-3x+y²=0．
经检验知：AB为x轴及AB∥y轴均满足上式，∴P点的轨迹为x²-3x+y²=0…（6分）
（2）令|OP|=h，由题意知0＜h≤3，
在Rt△APO中，|AP|=

25-h2

即|AB|=2

25-h2

，S△ABO=

1

2

|AB|•|OP|=

1

2

×2

25-h2

•h=h

25-h2

(0＜h≤3)=

-h4+25h2

（0＜h≤3）．
令t=h²则 0＜t≤9，
易知S△ABO=

-t2+25t

，在 0＜t≤9时单调递增．
∴当t=9，即直线AB垂直x轴时，S_△ABOmax=12，此时l的倾斜角为90°．

点评：本题是综合题，考查曲线轨迹方程的求法，转化思想的应用，二次函数闭区间最值的求法，考查计算能力．