Question

已知坐标平面内O为坐标原点，

OA

=(1，5)，

OB

=(7，1)，

OM

=(1，2)，P是线段OM上一个动点．当

PA

•

PB

取最小值时，求

OP

的坐标，并求cos∠APB的值．

Answer 1

分析：由题意知

OM

与

OP

共线，由向量共线定理可得?λ∈[0，1]使得

OP

=

λOM

=(λ，2λ)，由向量数量积的坐标表示可得f（λ）=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]结合二次函数在区间[0，1]的单调性可求函数的最小值及P的坐标；代入向量夹角公式cos∠APB=

PA • PB

| PA | |PB |

求值

解答：解：由题意，可设

OP

=(λ，2λ)，其中λ∈[0，1]，
则

PA

=(1-λ，5-2λ)，

PB

=(7-λ，1-2λ)（4分）
设f(λ)=

PA

•

PB

，则f（λ）=（1-λ）（7-λ）+（5-2λ）（1-2λ）
=5λ²-20λ+12，λ∈[0，1]（8分）
又f（λ）在[0，1]上单调递减
∴当λ=1时f（λ）取得最小值，此时P点坐标为（1，2）（12分）

PA

=(0，3)，

PB

=(6，-1)（14分）
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-3

3 37

=-

37

37

．（16分）

点评：本题考查平面向量共线定理，平面向量数量积的坐标表示，二次函数的单调性及最值的求解，向量夹角的坐标表示．熟练掌握向量的基础知识并能灵活运用是解决问题的关键．