Question

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知tanA=

1

2

，tanB=

1

3

，且最长边的边长为1，求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和定理得到C=π-（A+B），然后利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，将tanA和tanB的值代入即可求出tanC的值，由C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）根据正切函数的单调性由tanB小于tanA，得到B小于A，即b小于a，由C为钝角得到最长的边为c，最短的边为b，根据tanB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，由sinB，sinC和c的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答：解：（1）tanC=tan[π-（A+B）]
=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=-1，
∵0＜C＜π，∴C=

3π

4

；
（2）∵0＜tanB＜tanA，
∴A、B均为锐角，则B＜A，
又C为钝角，∴最短边为b，最长边长为c，
由tanB=

1

3

，解得sinB=

10

10

，
由

b

sinB

=

c

sinC

，
∴b=

c•sinB

sinC

=

1× 10 10

2 2

=

5

5

．

点评：此题考查学生灵活运用诱导公式及两角和与差的正切函数公式化简求值，灵活运用正弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．