题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:.
若圆C的切线l在x轴和y轴上的截距相等,且截距不为零,求切线l的方程;
已知点
为直线
上一点,由点P向圆C引一条切线,切点为M,若
,求点P的坐标.
【答案】(1)或
;(2)点
的坐标为
或
.
【解析】
(1)根据题意,利用待定系数法给出切线的截距式方程,然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可;
(2)根据题意,由直线与圆的位置关系可得PM2=PC2﹣MC2,又由PMPO,则2PO2=PC2﹣MC2,代入点的坐标变形可得:x12+y12﹣2x1+4y1﹣3=0,①,又由点P(x1,y1)为直线y=2x﹣6上一点,则y1=2x1﹣6,②,联立①②,解可得x1的值,进而计算可得y1的值,即可得答案.
(1)将圆化标准方程为
,
所以圆心,半径
.
又因为圆的切线
在
轴和
轴上的截距相等,且截距不为零,
所以设切线的方程为
.
因为直线与圆
相切,所以圆心
到直线
的距离等于半径,
即.
解得:或
.
所以切线的方程为
或
.
(2)因为为切线且
为切点,所以
.
又因为,所以
.
又因为,
,
所以,
化简可得:①;
因为点在直线
上,所以
②.
联立①②可得:,
消去可得:
,解得
或
.
将代入②可得:
,所以点
的坐标为
.
将代入②可得
,所以点
的坐标为
.
综上可知,点的坐标为
或
.

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