Question

某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图为函数y=f（x）的图象，在x∈（0，4]时为二次函数，且当x=4时到达顶点；在x∈（4，20]为一次函数，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．
（I）求函数y=f（x）的解析式；
（II）设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，试分别计算出第二次、第三次服药的时间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图象分段设出一次函数模型，分别代入点（4，320）和（20，0）求解函数解析式，
（Ⅱ）设x为第一次服药后经过的时间，由第一次服药的残留量大于等于240求解x的范围，同样由第二次服药的残留量大于等于240求解第二次的药效时间，再由前两次的服药残留量大于240求解第三次的服药时间．

解答：解：（I）当0≤x≤4时，由图象可得y=a（x-4）²+320，当x=0时，y=0代入得a•16+320=0，∴a=-20．
∴y=-20（x-4）²+320，
当4≤x≤20时，设y=kx+b，将（4，320），（20，0）代入得y=400-20x．
综上得f(x)=

-20(x-4)2+320，0≤x≤4. 400-20x，4＜x≤20.

，
（II）设x为第一次服药后经过的时间，则第一次服药的残留量y1=f(x)=

-20(x-4)2+320，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

，
由y1≥240，得

0≤x≤4 -20(x-4)2+320≥240

或

4＜x≤20 400-20x≥240.

，
解得2≤x≤4或4＜x≤8，
∴2≤x≤8．
故第二次服药应在第一次服药8小时后，即当日16：00．
设第二次服药产生的残留量为y₂，则y2=f(x-8)=

-20(x-12)2+320，8≤x≤12 400-20(x-8)，12＜x≤28.

，
由y2≥240，得

8≤x≤12 -20(x-12)2+320≥240

或

12＜x≤28 400-20(x-8)≥240.

，
解得10≤x≤12或12＜x≤16，∴10≤x≤16，
若仅考虑第二次服药的残留量，第三次服药应在第一次服药16小时后，面前两次服药的残留量为y1+y2，由

x＞16 y1+y2≥240.

，
得

x＞16 400-20x+400-20(x-8)≥240，解得16＜x≤18.

故第三次服药应在第一次服药18小时后，即次日凌晨2：00．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数涉及的不等式的解法，解答此题的关键是对题意的理解与把握，考查了计算能力．属于中档题．