Question

（2007•温州一模）如图，设A（-2，0），B（2，0），直线l：x=1，点C在直线l上，动点P在直线BC上，且满足

AP

•

AC

=0．
（Ⅰ）若点C的纵坐标为1，求点P的坐标；
（Ⅱ）求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）设出P点坐标为（x，y），根据A（-2，0），B（2，0），C（1，1）我们可求出

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，1)，进而根据

AP

•

AC

=0，P点在BC上，结合向量数量的公式，构造x，y的方程组，解方程组，即可求出P点坐标．
（II）设P（x，y），C（1，h），由已知可得

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，h)，

CP

=(x-1，y-h)，

BC

=(-1，h)进而根据

AP

•

AC

=0，P点在BC上，结合向量数量的公式，构造x，y，h的方程组，消掉h后，即可得到点P的轨迹E的方程．

解答：解：（I）设P（x，y），则

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，1)，

CP

=(x-1，y-1)，

BC

=(-1，1)
由题意得：y+x-2=0，y+3（x+2）=0，则x=-4，y=6，即点P的坐标为（-4，6）
（II）设P（x，y），C（1，h），

AP

=(x+2，y)，

AC

=(3，h)，

CP

=(x-1，y-h)，

BC

=(-1，h)
则由题意得：y+h（x-2）=0，hy+3（x+2）=0，---（10分）
消去h得点P的轨迹E的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．---（14分）

点评：本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，轨迹方程，其中（2）中熟练掌握利用坐标法，求轨迹方程的方法和步骤，是解答此类问题的关键．