题目内容

设f(x)=x-
1x
，则它与x轴交点处的切线的方程为
 
．
分析：先求出切点坐标，然后求出函数f（x）的导函数，分别求出在x=-1与x=1 处的导数，利用点斜式方程求出切线方程即可．
解答：解：f(x)=x-
1
x
=0
解得x=1或-1
∴切点为（1，0），（-1，0）
f'（x）=1+
1
x2

∴f'（-1）=2，f'（1）=2
∴函数f（x）与x轴交点处的切线的方程为y=2x-2和y=2x+2
故答案为：y=2x-2和y=2x+2
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，注意本题有两条切线，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
设f(x)=(
x+1
x
)2（x＞0）．
（1）求f（x）的反函数f-1（x）
（2）若x≥2时，不等式(x-1)f-1(x)＞a(a-
x
)恒成立，求实数a的取值范围．
设f(x)=
1
x
，x＞0
x2，x≤0
，则不等式f（x）＞1的解集为
{x|x＜-1或0＜x＜1}
{x|x＜-1或0＜x＜1}
．
设f(x)=x-
1x
(x∈[-2，-1]∪(0，1])，则f（x）的值域为
（-∞，0]
（-∞，0]
．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

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