Question

某校选派4人参加上级组织的数学竞赛，现从甲、乙两个竞赛班各选派2人．设甲、乙两班选派的人员获奖概率分别为

2

3

和

1

2

，且4位选手是否获奖互不影响．
（I）求甲、乙两班各有1人获奖的概率；
（II）求该校获奖人数ξ的分布列与期望．

Answer 1

分析：（I）利用独立重复试验的事件A发生k次的概率公式求出P(Ak)=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k；P(Bi)=

C

i 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i；求出
甲、乙两班各有1人获奖的概率；
（II）求出ξ的所有可能值，求出ξ取每一个值的概率值，列出分布列，利用随机变量的期望公式求出期望．

解答：解：（I）设A_k表示甲班有k人获奖，K=0，1，2
B_i表示乙班有i人获奖，i=0，1，2．
P(Ak)=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k；
P(Bi)=

C

i 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i；
据此算得P(A0)=

1

9

；P(A，1)=

4

9

；P(A2)=

4

9

P(B0)=

1

4

，P(B，1)=

1

2

，P(，B2)=

1

4

甲、乙两班各有1人获奖的概率为P(A1B1) =P(A1)P(B1) =

4

9

×

1

2

=

2

9

（II）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且
P(ξ=0)=

1

9

×

1

4

=

1

36

P(ξ=1)=

1

9

×

1

2

 +

4

9

×

1

4

=

1

6

P( A0 •B2)+P(A1B1)+P(A2B0)=

13

36

P(ξ=3)=

4

9

×

1

4

+ 

4

9

×

1

2

=

1

3

P(ξ=4)=

4

9

×

1

4

=

1

9

综上知ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

从而，ξ的期望为Eξ=0×

1

36

+1×

1

6

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

点评：求一个事件的概率，关键是判断出事件的概率模型，然后选择合适的概率公式，进行计算，要细心．