题目内容

已知函数f（x）=（x²+ax+b）•e^x，当x=0时f（x）取到极大值，x=x₁时f（x）取到极小值，且x∈R时f（x）＞0恒成立．
（1）求a的取值范围；
（2）设A（0，f（0）），B（x₁，f（x₁））， $数学公式$ ，求证： $数学公式$ $数学公式$ ．

解：（1）由题意，f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]•e^x
∵当x=0时f（x）取到极大值，
∴f′（0）=a+b=0，∴x₁=-a-2
∴-a-2＞0，∴a＜-2
∵x∈R时f（x）＞0恒成立
∴x²+ax+b＞0，x∈R时，恒成立
∴△=a²-4b=a²+4a＜0
∴-4＜a＜0
∴-4＜a＜-2；
（2）A（0，-a），B（-a-2，（a+4）e^-2-a），∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴g（a）= $\text{[math]}$ ，g（a）在（-4，-2）上单调递减，
∴0＜g（a）＜6．
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先求导函数，利用导数为0处取极值，可得a，b的关系，利用x∈R时f（x）＞0恒成立，从而可求a的取值范围；
（2）先求 $\text{[math]}$ 的坐标，从而可求数量积，利用（1）a的取值范围，可知在（-4，-2）上单调递减，从而可证．
点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，有一定的综合性，注意导数为0处函数取极值．