题目内容
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为
,一条准线l:x=2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,M是l上的点,F为椭圆C的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P,Q两点.
①若PQ=,求圆D的方程;
②若M是l上的动点,求证点P在定圆上,并求该定圆的方程.
(1) +y2=1 (2)①(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2②点P在定圆x2+y2=2上
【解析】(1)由题设:,∴
,∴b2=a2-c2=1,
∴椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)①由(1)知:F(1,0),设M(2,t),
则圆D的方程:(x-1)2+ 2=1+
,
直线PQ的方程:2x+ty-2=0,
∵PQ=,∴2
=
,
∴t2=4,∴t=±2.
∴圆D的方程:(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2.
②设P(x0,y0),
由①知:,
即:,
消去t得:=2,
∴点P在定圆x2+y2=2上
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