题目内容
已知△ABC中，A（0，1），B（2，4）C（6，1），P为平面上任意一点，M、N分别使
=
(
+
)，
=
(
+
+
)，给出下列相关命题：①
∥
；②直线MN的方程为3x+10y-28=0；③直线MN必过△ABC的外心；④向量λ(
+
)(λ≠0)所在射线必过N点，上述四个命题中正确的是
| PM |
| 1 |
| 2 |
| PA |
| PB |
| PN |
| 1 |
| 3 |
| PA |
| PB |
| PC |
| MN |
| BC |
| AB |
| AC |
②
②
．（将正确的选项全填上）．分析：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），由题设条件求出M（1，
）．N（
，2）．由此能够得到
与
不平行；直线MN的方程为3x+10y-28=0；直线MN不过△ABC的外心；向量λ(
+
)(λ≠0)所在射线不一定过N点．
| 5 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
| MN |
| BC |
| AB |
| AC |
解答：解：设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴
=(x1-x，y1-y)，
=(-x，1-y)，
=(2-x，4-y)，
=(6-x，1-y)，
=(x2-x，y2-y)，
∵
=
(
+
)，
∴（x1-x，y1-y）=
(2-2x，5-2y)=（1-x，
-y），
∴M（1，
）．
∵
=
(
+
+
)，
∴（x2-x，y2-y ）=
（8-3x，6-3y）=（
-x，2-y），
∴N（
，2）．
∴
=(
，-
)，
∵
=(4，-3)，
×(-3)-(-
)×4=-3≠0，
∴
与
不平行，
故①不正确；
∵M（1，
），N（
，2），
∴直线MN的方程为
=
，
整理，得3x+10y-28=0，
故②正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴kAB=
，线段AB的中点（1，
），kAC=0，线段AC的中点（3，1），
∴线段AB的中垂线为：y-
=-
(x-1)，即4x+6y-19=0，
线段AC的中垂线为x=3，
解方程组
，得△ABC的外心为（3，
），
把（3，
）代入3x+10y-28=0，不成立，
∴直线MN不过△ABC的外心，故③不正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（
+
）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∴向量λ(
+
)(λ≠0)所在射线不一定过N点，故④不正确．
故答案为：②．
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴
| PM |
| PA |
| PB |
| PC |
| PN |
∵
| PM |
| 1 |
| 2 |
| PA |
| PB |
∴（x1-x，y1-y）=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴M（1，
| 5 |
| 2 |
∵
| PN |
| 1 |
| 3 |
| PA |
| PB |
| PC |
∴（x2-x，y2-y ）=
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
∴N（
| 8 |
| 3 |
∴
| MN |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∵
| BC |
| 5 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴
| MN |
| BC |
故①不正确；
∵M（1，
| 5 |
| 2 |
| 8 |
| 3 |
∴直线MN的方程为
y-
| ||
| x-1 |
2-
| ||
|
整理，得3x+10y-28=0，
故②正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴kAB=
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴线段AB的中垂线为：y-
| 5 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
线段AC的中垂线为x=3，
解方程组
|
| 7 |
| 6 |
把（3，
| 7 |
| 6 |
∴直线MN不过△ABC的外心，故③不正确；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（
| AB |
| AC |
∴向量λ(
| AB |
| AC |
故答案为：②．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
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