Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2

2

，侧棱长为4，E、F分别是棱AB，BC的中点，EF与BD相交于G．
（1）求证：平面EFB₁⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点B到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析：（1）要证面EFB₁⊥面BDD₁B₁，可先证明EF⊥平面BDD₁B₁，证出 EF⊥BD，EF⊥BB₁即可．
（2）在平面BDD₁B₁中，作BH⊥B₁G于为H，说明BH⊥面B₁EF，BH就是点B到平面B₁EF的距离，在Rt△B₁BG中利用等面积法求出BH．

解答：解：（1）证明：∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，根据正四棱柱的性质EF⊥BB₁，BD∩BB₁=B，可知EF⊥平面BDD₁B₁，…（3分）
又EF?面B₁EF，∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁…（7分）
（2）可知∴面EFB₁⊥面BDD₁B₁，在平面BDD₁B₁中，作BH⊥B₁G于为H，∵面EFB₁⊥面BDD₁B₁，面EFB₁∩面BDD₁B₁=B₁G
∴BH⊥面B₁EF，BH就是点B到平面B₁EF的距离…（10分）
在Rt△B₁BG中，B₁B=4，BG=1，BH⊥B₁G⇒BH=

BG•BB1

B1G

=

4 17

17

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，面面垂直的定义，性质、判定，空间距离的计算．考查了空间想象能力、计算能力，分析解决问题能力．空间问题平面化是解决空间几何体问题最主要的思想方法．